【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,AC和BD相交于點E,且DC2=CECA.
(1)求證:BC=CD;
(2)分別延長AB,DC交于點P,過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F,若PB=OB,CD= ,求DF的長.

【答案】
(1)證明:∵DC2=CECA,

= ,

△CDE∽△CAD,

∴∠CDB=∠DAC,

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,

∴BC=CD;


(2)解:方法一:如圖,連接OC,

∵BC=CD,

∴∠DAC=∠CAB,

又∵AO=CO,

∴∠CAB=∠ACO,

∴∠DAC=∠ACO,

∴AD∥OC,

=

∵PB=OB,CD= ,

=

∴PC=4

又∵PCPD=PBPA

∴4 (4 +2 )=OB3OB

∴OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,

在Rt△ACB中,

AC= = =2

∵AB是直徑,

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB,

∴∠FDA=∠CBA,

又∵∠AFD=∠ACB=90°,

∴△AFD∽△ACB

在Rt△AFP中,設(shè)FD=x,則AF= ,

∴在Rt△APF中有,

求得DF=

方法二;連接OC,過點O作OG垂直于CD,

易證△PCO∽△PDA,可得 =

△PGO∽△PFA,可得 =

可得, = ,由方法一中PC=4 代入 ,

即可得出DF=


【解析】(1)求出△CDE∽△CAD,∠CDB=∠DAC得出結(jié)論.(2)連接OC,先證AD∥OC,由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC= ,再由割線定理PCPD=PBPA求得半徑為4,根據(jù)勾股定理求得AC= ,再證明△AFD∽△ACB,得 ,則可設(shè)FD=x,AF= ,在Rt△AFP中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求解得DF.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用勾股定理的概念和圓周角定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

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