Question

已知拋物線y=x²-（m+6）x+m+5．
（1）求證：無論m取什么實數(shù)，拋物線與x軸必有交點，且過x軸上一定點；
（2）當(dāng)拋物線與x軸相交于A，B兩不同點時，設(shè)其頂點為M，若△MAB是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的表達式可化為交點式進而可求出拋物線和x軸有交點，解方程即可求出過x軸上一定點的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知A和B的坐標(biāo)，把函數(shù)的表達式可化為頂點式進而可求出M點的坐標(biāo)，因為△MAB是等腰直角三角形，所以MA=MB，進而可求出m的值．

解答：（1）證明：∵y=x²-（m+6）x+m+5=（x-1）（x-m-5）=0
得到x₁=1，x₂=m+5，
∴無論m取什么實數(shù)，拋物線與x軸必有交點，且過x軸上一定點（1，0）；
（2）解：A（1，0）B（m+5，0）（m+5≠1，即m≠-4）
y=[x-

1

2

（m+6）]²-

1

4

（m²+8m+16），
∴頂點M

1

2

（（m+6），-

1

4

（m²+8m+16），
∵拋物線關(guān)于對稱軸對稱，
∴MA=MB，
∵△MAB是等腰直角三角形，
∴

1

2

（m+4）²+

1

8

（m+4）⁴=（m+4）²，
∴

1

2

+

1

8

（m+4）²=1，
∴m=-2或-6．

點評：本題考查了拋物線于x軸交點的坐標(biāo)，求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．