【題目】如圖1,以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O,交對角線AC于點E.
(1)線段AE= ;
(2)如圖2,以點A為端點作∠DAM=30°,交CD于點M,沿AM將四邊形ABCM剪掉,使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉(如圖3),設旋轉角為α(0°<α<150°),旋轉過程中AD與⊙O交于點F.
①當α=30°時,請求出線段AF的長;
②當α=60°時,求出線段AF的長;判斷此時DM與⊙O的位置關系,并說明理由;
③當α= °時,DM與⊙O相切.
【答案】(1)4;(2)①4,②相離,見解析,③90
【解析】
(1)連接BE,則可得出△AEB是等腰直角三角形,再由AB=8,可得出AE的長.
(2)①連接OA、OF,可判斷出△OAF是等邊三角形,從而可求出AF的長;②此時可得DAM=30°,根據AD=8可求出AF的長,也可判斷DM與⊙O的位置關系;③根據AD等于⊙O的直徑,可得出當DM與⊙O相切時,點D在⊙O上,從而可得出α的度數.
解:(1)連接BE,
∵AC是正方形ABCD的對角線,
∴∠BAC=45°,
∴△AEB是等腰直角三角形,
又∵AB=8,
∴AE=4;
(2)連接OA、OF,
①
由題意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,
故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,
則∠OAF=60°,
又∵OA=OF,
∴△OAF是等邊三角形,
∵OA=4,
∴AF=OA=4;
②
連接B'F,此時∠NAD=60°,
∵AB'=8,∠DAM=30°,
∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;
此時DM與⊙O的位置關系是相離;
③
∵AD=8,直徑的長度相等,
∴當DM與⊙O相切時,點D在⊙O上,
故此時可得α=∠NAD=90°.
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【題目】九年級(1)班的小華和小紅兩名學生10次數學測試成績如下表(表I)所示:
小花 | 70 | 80 | 90 | 80 | 70 | 90 | 80 | 100 | 60 | 80 |
小紅 | 90 | 80 | 100 | 60 | 90 | 80 | 90 | 60 | 60 | 90 |
現根據上表數據進行統(tǒng)計得到下表(表Ⅱ):
姓名 | 平均成績 | 中位數 | 眾數 |
小華 | 80 | ||
小紅 | 80 | 90 |
(1)填空:根據表I的數據完成表Ⅱ中所缺的數據;
(2)老師計算了小紅的方差請你計算小華的方差并說明哪名學生的成績較為穩(wěn)定.
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【題目】某數學課外活動小組的同學.利用所學的數學知識,測底部可以到達的學校操場上的旗桿AB高度,他們采用了如下兩種方法:
方法1:在地面上選一點C,測得CB為40米,用高為1.6米的測角儀在C處測得旗桿頂部A的仰角為28°;
方法2:在相同時刻測得旗桿AB的影長為17.15米,又測得已有的2米高的竹桿的影長為1.5米.
你認為這兩種方法可行嗎?若可行,請你任選一種方法算出旗桿高度(精確到0.1米)若不可行,自己另設計一種測量方法(旗桿頂端不能到達),算出旗桿高度(結果可用字母表示)
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,OD⊥AC,垂足為D點,直線OD與⊙O相交于E,F兩點,P是⊙O外一點,P在直線OD上,連接PA,PB,PC,且滿足∠PCA=∠ABC
(1)求證:PA=PC;
(2)求證:PA是⊙O的切線;
(3)若BC=8,,求DE的長.
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【題目】手機微信推出了紅包游戲,它有多種玩法,其中一種為“拼手氣紅包”,用戶設好總金額以及紅包個數后,可以生成不等金額的紅包,現有一用戶發(fā)了三個“拼手氣紅包”,總金額為3元,隨機被甲、乙、丙三人搶到.
(1)下列事件中,確定事件是 ,①丙搶到金額為1元的紅包;②乙搶到金額為4元的紅包;③甲、乙兩人搶到的紅包金額之和一定比丙搶到的紅包金額多
(2)記金額最多、居中、最少的紅包分別為A,B,C.求甲搶到紅包A,乙搶到紅包C的概率
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【題目】某校準備開春季運動會,學校要給學生買若干筆袋和筆記本作為獎品.購買2個筆袋和1個筆記本需花25元,購買3個筆袋和2個筆記本需花40元.
(1)求筆袋和筆記本的單價各是多少元?
(2)學校準備購買筆袋和筆記本共計180個,甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案,在甲商場累計購物超過1000元后,超出1000元的部分按90%收費,在乙商場累計購物超過500元后,超出500元的部分按95%收費,經過預算此次購物超過了1000元,求學校需要至少購買多少個筆袋,才能使到甲商場購物更省錢?
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【題目】兩名同學在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結果出現的頻率,繪制出統(tǒng)計圖如圖所示,則符合這一結果的試驗可能是( )
A.拋一枚硬幣,正面朝上的概率
B.擲一枚正六面體的骰子,出現點的概率
C.轉動如圖所示的轉盤,轉到數字為奇數的概率
D.從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率
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【題目】某中學為了提高學生的綜合素質,成立了以下社團:.機器人,.圍棋,.羽毛球,.電影配音.每人只能加入一個社團.為了解學生參加社團的情況,從加社團的學生中隨機抽取了部分學生進行調查,并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,其中圖中所占扇形的圓心角為.
根據以上信息,解答下列問題:
這次被調查的學生共有 人;
請你將條形統(tǒng)計圖補充完整;
若該校共有學生加入了社團,請你估計這名學生中有多少人參加了羽毛球社團;
在機器人社團活動中,由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現優(yōu)秀,現決定從這四人中任選兩名參加機器人大賽.用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,M是OA的中點,弦CD⊥AB于點M,連接AD,點E在BC上,∠CDE=45°,DE交AB于點F,CD=6.
(1)求∠OAD的度數;
(2)求DE的長.
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