【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為M(2,-4),且過點(diǎn)A(-1,5),連接AMx軸于點(diǎn)B

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn)左方一段上的動(dòng)點(diǎn),連接PO,過以P為頂角頂點(diǎn)、PO為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Cx軸的垂線交直線AM于點(diǎn)D,連結(jié)PD,設(shè)△PCD的面積為S,求Sx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)在上述動(dòng)點(diǎn)P(x,y)中,是否存在使=2的點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】1;2;3 ;4)存在動(dòng)點(diǎn)P,使,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3).

【解析】

1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為M2,﹣4),且過點(diǎn)A(﹣1,5),用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式即可;

2)由于直線AMA,M兩點(diǎn),可用待定系數(shù)法求出直線的解析式,從而求出直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo).

3)設(shè)點(diǎn)Pxy),則C的坐標(biāo)是(2x0),把2x代入直線AM的解析式,就可以求出D的坐標(biāo).得到CD的長(zhǎng)度,CD邊上的高是x,因而△PCD的面積就可以用x表示出來(lái),得到Sx的函數(shù)解析式.

4)使SPCD2,把s2代入函數(shù)的解析式,就可以得到關(guān)于x的方程,解方程求解即可.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為ya(xh)2+ka0),

∵頂點(diǎn)為M2,﹣4),

ya(x2)24,

∵根據(jù)拋物線過點(diǎn)A(﹣1,5),

5a(12)24,

解得:a1

y(x2)24x24x,

∴這條拋物線的解析式為yx24x;

2)設(shè)直線AM的解析式為ykx+bk0),

M2,﹣4),A(﹣15)兩點(diǎn)代入,

,

解得,

故直線AM的解析式為y=﹣3x+2,

y0,解得x,

B點(diǎn)坐標(biāo)為(,0);

3)點(diǎn)Pxy)是拋物線在x軸下方、對(duì)稱軸左側(cè)部分上的點(diǎn),

當(dāng)0x時(shí),

設(shè)Px,x24x),

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Cx軸上,

C的坐標(biāo)是(2x,0),

CDx軸,

D2x,﹣6x+2),

CD|6x+2|=﹣6x+2h2xxx,

SPCD×(﹣6x+2)×x=﹣3x2+x

當(dāng)x2時(shí),

設(shè)Px,x24x),

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Cx軸上,

C的坐標(biāo)是(2x0),

CDx軸,

D2x,﹣6x+2),

CD|6x+2|6x2h2xxx,

SPCD×(6x2)×x3x2x

S

4s2代入(3)中函數(shù)的解析式即可得

2=﹣3x2+x23x2x,

當(dāng)2=﹣3x2+x,方程的△<0,方程無(wú)解;

當(dāng)23x2x,解得:x11,x2=﹣,

當(dāng)x1時(shí)yx24x=﹣3,即拋物線上的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣3)時(shí),s2成立;

當(dāng)x=﹣0(舍去),

∴存在動(dòng)點(diǎn)P,使S2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣3).

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A.

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C.當(dāng)時(shí),

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A.0B.4C.8D.16

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