【題目】連接四邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線,如圖1,四邊形ABCD中線段AC、線段BD就是四邊形ABCD 的對角線.把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD的平方和與BC,AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)______
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證).
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.
【答案】垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等
【解析】
(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可;
(3)先判斷出△GAB≌△CAE,得出∠ABG=∠AEC,進而根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計算.
(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.
理由:如圖,連接AC,BD,
∵AB=AD,
∴點A在線段BD的垂直平分線上,
∵CB=CD,
∴點C在線段BD的垂直平分線上,
∴直線AC是線段BD的垂直平分線,
∴AC⊥BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;
(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等,
如圖,
已知四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為E,
求證:AD2+BC2=AB2+CD2
證明:∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)如圖,連接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE,
∴△GAB≌△CAE,
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90,
∴∠ABG+∠AME=90,即CE⊥BG,
∴四邊形CGEB是垂美四邊形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=4,AB=5,
∴BC=3,CG=4,BE=5,
∴GE2=CG2+BE2 –CB2=73,
∴GE=.
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【題目】如圖AB=CD,AD=BC,過O點的直線交AD于E,交BC于F,圖中全等三角形有( )
A. 4對 B. 5對 C. 6對 D. 7對
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【題目】在一次夏令營活動中,小霞同學從營地A點出發(fā),要到距離A點10千米的C地去,先沿北偏東70°方向走了8千米到達B地,然后再從B地走了6千米到達目的地C , 此時小霞在B地的( 。
A.北偏東20°方向上
B.北偏西20°方向上
C.北偏西30°方向上
D.北偏西40°方向上
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【題目】已知如圖:直線AB⊥BC,四邊形ABCD是正方形,且AB=6,點P是BD上一點,且PD=2,一塊三角板的直角頂點放在點P上,另兩條邊與BC、AB所在直線相交于點E、F,在三角板繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中,使得△PBF是等腰三角形,(1)線段BD=________,(2)請寫出所有滿足條件的BF的長__________.
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【題目】三種不同類型的紙板的長寬如圖所示,其中A類和C類是正方形,B類是長方形,現(xiàn)A類有1塊,B類有4塊,C類有5塊. 如果用這些紙板拼成一個正方形,發(fā)現(xiàn)多出其中1塊紙板,那么拼成的正方形的邊長是( )
A. m+n B. 2m+2n C. 2m+n D. m+2n
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【題目】已知,在△ABC中三個內(nèi)角的度數(shù)滿足∠ABC:∠C:∠A=5:6:7,BD是△ABC的角平分線,DE是△DBC的高.
(1)求△ABC各內(nèi)角的度數(shù);
(2)求圖中的度數(shù).
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【題目】如圖,D為△ABC內(nèi)一點,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,則BD的長為( 。
A. 1 B. C. D. 4
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的圖象與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D.若以BD為直徑的⊙M經(jīng)過點C.
(1)請直接寫出C,D的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)求拋物線的函數(shù)表達式;
(3)⊙M上是否存在點E,使得∠EDB=∠CBD?若存在,請求出所滿足的條件的E的坐標;若不存在,請說明理由.
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