Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，如圖①．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB=10，AC=6，求BD的長；

（3）如圖②，若F是OA中點，FG⊥OA交直線DE于點G，若FG=，tan∠BAD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）4．

【解析】試題分析：（1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE；

（2）首先證明OD⊥BC，在Rt△BDN中，利用勾股定理計算即可；

（3）如圖②中，設(shè)FG與AD交于點H，根據(jù)題意，設(shè)AB=5x，AD=4x，則AF=x，想辦法用x表示線段FH、GH，根據(jù)FH+GH=，列出方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）證明：如圖①中，連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE+∠AED=180°，∵∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．

（2）如圖①中，連接BC，交OD于點N，∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，∵OD∥AE，O是AB的中點，∴ON∥AC，且ON=AC，∴∠ONB=90°，且ON=3，則BN=4，ND=2，∴BD==．

（3）如圖②中，設(shè)FG與AD交于點H，根據(jù)題意，設(shè)AB=5x，AD=4x，則AF=x，FH=AFtan∠BAD=x=x，AH== =，HD=AD﹣AH=4x﹣=，由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90°，在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA=90°，∵∠OAD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，∴∠DHG=∠HDG，∴GH=GD，過點G作GM⊥HD，交HD于點M，∴MH=MD，∴HM=HD=×=，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠MHG+∠HGM=90°，∴∠FAH=∠HGM，在Rt△HGM中，HG===，∵FH+GH=，∴+=，解得x=，∴此圓的半徑為×=4．