【題目】如圖1,在直角坐標系中,O是坐標原點,點A在y軸正半軸上,二次函數(shù)y=ax2+ x+c的圖象F交x軸于B、C兩點,交y軸于M點,其中B(﹣3,0),M(0,﹣1).已知AM=BC.

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)證明:在拋物線F上存在點D,使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形,并請求出直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,設直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點,AC、BD相交于N.
①若直線l⊥BD,如圖1,試求 的值;
②若l為滿足條件的任意直線.如圖2.①中的結論還成立嗎?若成立,證明你的猜想;若不成立,請舉出反例.

【答案】
(1)

解:∵二次函數(shù)y=ax2+ x+c的圖象經(jīng)過點B(﹣3,0),M(0,﹣1),

,

解得a= ,c=﹣1.

∴二次函數(shù)的解析式為:y= x2+ x﹣1


(2)

解:由二次函數(shù)的解析式為:y= x2+ x﹣1,

令y=0,得 x2+ x﹣1=0,

解得x1=﹣3,x2=2,∴C(2,0),∴BC=5;

令x=0,得y=﹣1,∴M(0,﹣1),OM=1.

又AM=BC,∴OA=AM﹣OM=4,∴A(0,4).

設AD∥x軸,交拋物線于點D,如圖1所示,

則yD= x2+ x﹣1=OA=4,

解得x1=5,x2=﹣6(位于第二象限,舍去)

∴D點坐標為(5,4).

∴AD=BC=5,

又∵AD∥BC,

∴四邊形ABCD為平行四邊形.

即在拋物線F上存在點D,使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形.

設直線BD解析式為:y=kx+b,∵B(﹣3,0),D(5,4),

,

解得:k= ,b=

∴直線BD解析式為:y= x+


(3)

解:在Rt△AOB中,AB= =5,又AD=BC=5,∴ABCD是菱形.

①若直線l⊥BD,如圖1所示.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,

∴AC∥直線l,

,

∵BA=BC=5,

∴BP=BQ=10,

= = ;

②若l為滿足條件的任意直線,如圖2所示,此時①中的結論依然成立,理由如下:

∵AD∥BC,CD∥AB,

∴△PAD∽△DCQ,

∴APCQ=ADCD=5×5=25.

=

=

=

=

=

=


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式;(2)首先求出D點的坐標,可得AD=BC且AD∥BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形;再根據(jù)B、D點的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;(3)本問的關鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形.①推出AC∥直線l,從而根據(jù)平行線間的比例線段關系,求出BP、CQ的長度,計算出 = ;②判定△PAD∽△DCQ,得到APCQ=25,利用這個關系式對 進行分式的化簡求值,結論為 = 不變.
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質,掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題.

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