Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，已知點(diǎn)A和C的坐標(biāo)分別是（﹣4，0）和（0，4），點(diǎn)P在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的上方，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)記為t，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，當(dāng)PM＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上與點(diǎn)D不重合的一點(diǎn)，F是平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CPEF是正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4，(﹣，)；（2）(﹣2，16﹣7)；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)

【解析】

（1）根據(jù)題意直接將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)，即可求解；

（2）由題意求出PE＝＝PM＝2，即可求解；

（3）根據(jù)題意分當(dāng)CE為正方形一條邊、CE為正方形的對(duì)角線兩種情況，求解即可．

解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣3x+4，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）；

（2）設(shè)：直線AC的表達(dá)式為：y＝kx+4，

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣4k+4，解得：k＝1，

則直線AC的表達(dá)式為：y＝x+4，

過點(diǎn)P作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)EM，

∵OA＝OC，∴∠CAB＝45°，則∠EPM＝45°，

∴PE＝＝PM＝2，

設(shè)：點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣3x+4），則點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x+4），

PE＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝2，

解得：x＝﹣2±（舍去﹣2﹣），

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，16﹣7）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P′在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)（左側(cè)圖），

同①所證，設(shè)CH＝a，則點(diǎn)P′坐標(biāo)為（﹣a﹣，4﹣a），

將點(diǎn)P′坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：a＝（負(fù)值已舍去），

點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（，），

同理當(dāng)點(diǎn)P′′在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)（右側(cè)圖），

點(diǎn)P″的坐標(biāo)為（﹣1，）或（，）．

備注：本題如果是這樣表述：當(dāng)四邊形C，P，E，F是正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

則需要考慮：CE為正方形一條邊時(shí)，

過點(diǎn)E作EG⊥y軸，交y軸于點(diǎn)G，

∠ECG+∠PCG＝90°，∠CEG+∠ECG＝90°，∴∠CEG＝∠PGC，

而∠EGC＝∠CPF＝90°，EC＝PC，∴△ECG≌△CPH，

∴EG＝CH＝，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．