Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設(shè)運動的時間為t秒.

（1）當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分；

（2）當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；

（3）在（2）的情況下，若過點P作PE//BC，且在BC上有一點F，PE=CF，連結(jié)PF，

BE，試探索PF與BE的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）t=6秒；（2）t=6.5秒；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理求出AB即可；

（2）根據(jù)面積公式分析進行分析即可；

（3）構(gòu)造全等三角形，通過全等三角形的判定及其性質(zhì)進行解答即可.

解：

（1）如圖1， CP把△ABC的周長分成相等的兩部分

∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm

∴

由題意得AP=2t-8，BP=10-（2t-8）=10-2t+8=18-2t

∵CP把△ABC的周長分成相等的兩部分

∴AC+AP=BC+BP，即8+2t-8=6+18-2t，解得t=6（秒）；

（2）如圖1，當(dāng)CP把三角ABC的面積分成相等的兩部分時，點必在AB邊上，

若AP，BP分別為△APC，△BPC的底邊，則△APC，△BPC有公共的高，

∵△APC，△BPC的面積相等，

∴AP=BP=5，

∴t==6.5（秒）.

（3）如圖2，連接PC；

∵點P為直角△ABC斜邊的中點，

∴PC=PB，∠PCF=∠PBC；

又∵PE///BC，

∴∠EPB=∠PBC，

∴∠EPB=∠PCF；

在△PCF與△BPE中

PC=PB ∠PCF=∠EPB CF=PE

∴△PCF≌△BPE（SAS）

∴PF=BE.