Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖①）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖②）于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或6.

【解析】試題分析：（1）由兩對(duì)角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；

（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．

（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；

（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．

試題解析：（1）∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ與△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，

（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB-PB=3-=；

（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或6．