【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,P是△ABC外接圓⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C位于直線AB的異側(cè))連接AP、BP,延長(zhǎng)AP到D,使PD=PB,連接BD.
(1)求證:PC∥BD;
(2)若⊙O的半徑為2,∠ABP=60°,求CP的長(zhǎng);
(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),的值是否會(huì)發(fā)生變化,若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)給出證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)+;(3)的值不變,.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=45°,∠ACB=90°,根據(jù)圓周角定理得到∠APB=90°,得到∠APC=∠D,根據(jù)平行線的判定定理證明;
(2)作BH⊥CP,根據(jù)正弦、余弦的定義分別求出CH、PH,計(jì)算即可;
(3)證明△CBP∽△ABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.
(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,
∴∠ABC=45°,∠ACB=90°,
∴∠APC=∠ABC=45°,
∴AB為⊙O的直徑,
∴∠APB=90°,
∵PD=PB,
∴∠PBD=∠D=45°,
∴∠APC=∠D=45°,
∴PC∥BD;
(2)作BH⊥CP,垂足為H,
∵⊙O的半徑為2,∠ABP=60°,
∴BC=2,∠BCP=∠BAP=30°,∠CPB=∠BAC=45°,
在Rt△BCH中,CH=BCcos∠BCH=,
BH=BCsin∠BCH=,
在Rt△BHP中,PH=BH=,
∴CP=CH+PH=+;
(3)的值不變,
∵∠BCP=∠BAP,∠CPB=∠D,
∴△CBP∽△ABD,
∴=,
∴=,即=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上,AE=CD,連接AD、BE交于點(diǎn)P.
(1)求證:∠BPD=60°.
(2)連接PC,若CP⊥PB.當(dāng)AP=3,求BP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,□OABC的邊OC在y軸的正半軸上,OC=3,A(2,1),反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)如圖2,將線段OA延長(zhǎng)交y= (x>0)的圖象于點(diǎn)D,過(guò)B,D的直線分別交x軸、y軸于E,F兩點(diǎn),①求直線BD的解析式;②求線段ED的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年我區(qū)的葡萄喜獲豐收,葡萄一上市,水果店的王老板用2400元購(gòu)進(jìn)一批葡萄,很快售完;老板又用5000元購(gòu)進(jìn)第二批葡萄,所購(gòu)件數(shù)是第一批的2倍,但進(jìn)價(jià)比第一批每件多了5元.
(1)第一批葡萄每件進(jìn)價(jià)多少元?
(2)王老板以每件150元的價(jià)格銷售第二批葡萄,售出80%后,為了盡快售完,決定打折促銷,要使第二批葡萄的銷售利潤(rùn)不少于640元,剩余的葡萄每件售價(jià)最少打幾折?(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形,使三角形三邊長(zhǎng)分別為2、、;
(3)如圖3,點(diǎn)A、B、C是小正方形的頂點(diǎn),求∠ABC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A,B,與一次函數(shù)y=kx的圖像交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)C.
(1)當(dāng)∠時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo)。
(2)當(dāng)時(shí),求k的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,﹣k+2).
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若(a,y1),(a+1,y2)是這個(gè)反比例函數(shù)圖象上同一象限內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),請(qǐng)比較y1、y2的大小,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(﹣3x2)(x3y)2;
(2)(x﹣5)(2x+1);
(3)(a﹣2)2﹣(a﹣1)(a+1);
(4)(3a﹣b+)(3a﹣b﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn),另有一次函數(shù)的圖象.
(1)若,判斷函數(shù)的圖象與線段是否有交點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象與線段有交點(diǎn),求k的取值范圍.
(3)若,求證:函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn).
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