Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個(gè)點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P，使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），

∴ ，

解得：a=﹣ ，b=﹣ ，c=3，

∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3

（2）

解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

當(dāng)BP平行且等于AC時(shí)，四邊形ACBP為菱形，

∴BP=AC=5，且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），

當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

（3）

解：設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），P（5，3），

∴ ，

解得：k= ，b=﹣ ，

∴直線PA的解析式為y= x﹣ ，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，

∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，

解方程組 ，得 或 ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣5，﹣ ）時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，此時(shí)|PM﹣AM|的最大值為5．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；
　　　�。�2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BC與AC的長(zhǎng)相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時(shí)，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長(zhǎng)，由OB的長(zhǎng)確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；
　　　�。�3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)M坐標(biāo)，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．