Question

如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)B′是B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，AB′交l于點(diǎn)P．
（1）AB′與AP+PB相等嗎？為什么？
（2）在l上再取一點(diǎn)Q，并連接AQ和QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，可得PB=PB′，即可得證AB′=AP+PB；
（2）連接QB′，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：QB=QB′，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短（三角形的三邊關(guān)系）可得：AQ+QB′＞AB′，即AQ+QB＞AP+PB．

解答：解：（1）AB′與AP+PB相等，連接BB′，

∵點(diǎn)B′是B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，
∴l(xiāng)垂直平分線段BB′，
∴PB=PB′，
∴AP+PB′=AP+BP，
即：AB′=AP+BP；
（2）AQ+QB＞AP+PB，
連接QB′，如圖所示，

∵點(diǎn)B′是B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，
∴l(xiāng)垂直平分線段BB′，
∴BQ=QB′，
∵AQ+QB′＞AB′，
∴AQ+BQ＞AB′，
∵AB′=AP+BP，
∴AQ+QB＞AP+PB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱--最短路線的問(wèn)題，涉熟知兩點(diǎn)之間線段最短（三角形任意兩邊之和大于第三邊）的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．