Question

（1）已知x≠1，計(jì)算（1-x）（1+x）=

 

，（1-x）（1+x+x²）=

 

，（1-x）（1+x+x²+x³）=

 

，觀察上式，猜想（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

 

．
（2）已知a≠b，則（a²-b²）÷（a-b）=

 

，（a³-b³）（a-b）=

 

．
利用上題結(jié)果猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）的結(jié)果并檢驗(yàn)猜想是否正確？

Answer 1

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）利用多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，歸納總結(jié)出一般性結(jié)論，猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）的結(jié)果，驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）已知x≠1，計(jì)算（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴，
觀察上式，猜想（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）已知a≠b，則（a²-b²）÷（a-b）=a+b，（a³-b³）（a-b）=a²+ab+b²；
利用上題結(jié)果猜想（a⁴-b⁴）÷（a-b）=a³+ab²+a²b+b³，
證明：（a⁴-b⁴）÷（a-b）
=（a-b）（a+b）（a²+b²）÷（a-b）
=（a+b）（a²+b²）
=a³+ab²+a²b+b³．
故答案為：（1）1-x²；1-x³；1-x⁴；1-xⁿ⁺¹；（2）a+b；a²+ab+b²

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．