Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）對，理由見解析 （2）見解析

【解析】

試題分析：（1）設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出=，=，再由點D為邊AB的黃金分割點可得出=，故可得出結(jié)論；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，故S_△DEC=S_△FCE，設(shè)直線EF與CD交于點G，由同底等高的三角形的面積相等可知S_△DEG=S_△FEG，故可得出S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FCG=S_△AEF，再由S_△BDC=S_{四邊形BEFC}，再由=可知=，故直線EF也是△ABC的黃金分割線．

解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

設(shè)△ABC的邊AB上的高為h．

∵S_△ADC=AD?h，S_△EDC=BD?h，S_△ABC=AB?h，

∴=，=，

又∵點D為邊AB的黃金分割點，

∴=，

∴=，

∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE，

∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，

∴S_△DEC=S_△FCE，

設(shè)直線EF與CD交于點G，

∴S_△DEG=S_△FCG，

∴S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FCG=S_{四邊形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，

S_△BDC=S_{四邊形BEFC}，．

又∵=，

∴=，

∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．

考點：相似形綜合題；黃金分割．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意理解黃金分割點及分割線的定義是解答此題的關(guān)鍵．