Question

如圖，拋物線y=

2

3

x2+

2

3

3

x+c經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點(diǎn)C（0，-

3

2

），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問(wèn)直線BD是否經(jīng)過(guò)圓心P？并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線BD交⊙P于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和⊙P的切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得c的值；
（2）已知D點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線BD的解析式，連接BP，設(shè)⊙P的半徑為r，求出r，OP的值即可．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．然后由射影定理求得PE²=PF•PN，根據(jù)此關(guān)系式求解．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x2+

2

3

3

x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
∴該拋物線的解析式為y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

；

（2）∵拋物線的解析式為y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

，
∴對(duì)稱軸為x=-

2 3 3

2× 2 3

=-

3

2

．
又∵C（0，-

3

2

），C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴D（-

3

，-

3

2

）．
令

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

=0，
解得，x₁=-

3 3

2

，x₂=

3

2

，
即A（-

3 3

2

，0）、B（

3

2

，0）．
易求直線BD的解析式為：y=

3

3

x-

1

2

．
設(shè)⊙P的半徑為r．則在直角△OBP中，根據(jù)勾股定理知BP²=OB²+OP²，即r²=（

3

2

）²+（

3

2

-r）²，
解得，r=1，則OP=OC-r=

3

2

-1=

1

2

．
∴P（0，

1

2

）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足直線BD的解析式y(tǒng)=

3

3

x-

1

2

．即直線BD經(jīng)過(guò)圓心P；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，則E（-

3

2

，-1）．
設(shè)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)⊙P的切線l交y軸于點(diǎn)N．
則∠PEN=90°，EF⊥PN，
∴PE²=PF•PN（射影定理），
∴PN=2，N（0，-2.5），（11分）
∴切線l為：y=-

3

x-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．難度較大．解題時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，以防將點(diǎn)D的坐標(biāo)誤寫為（

3

，-

3

2

）．