【題目】如圖所示,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB2,BC2,ADE為正三角形.

若半徑為R的圓能夠覆蓋五邊形ABCDE(即五邊形ABCDE的每個(gè)頂點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓上),則R的最小值是(

A.2B.4C.2.8D.2.5

【答案】C

【解析】

連接AC、BE、CE,取BC的中點(diǎn)F,連接EF,根據(jù)勾股定理可得AC,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可得∠ACB30°,∠CAD30°,再根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得:∠EAD=∠EDA60°,AEADDE2,進(jìn)而推出△EAC是直角三角形,由勾股定理可得EC的長(zhǎng).判斷△EAB≌△EDC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EBEC,繼而根據(jù)題意可判斷能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的圓心在線段EF上,且此圓只要覆蓋住△EBC必能覆蓋五邊形ABCDE,從而此圓的圓心到△BCE的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)可得FBC中點(diǎn),BFCFEFBC,由勾股定理可得EF的長(zhǎng),繼而列出關(guān)于R的一元二次方程,解方程即可解答.

如圖所示,連接AC、BE、CE,取BC的中點(diǎn)F,連接EF,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=∠DAB=∠BCD=∠ADC90°,ADBC,ADBC2ABCD2

BC2,AB2

由勾股定理可得:

AC4

sinACB,sinCAD

∴∠ACB30°,∠CAD30°

∵△ADE是正三角形

∴∠EAD=∠EDA60°,AEADDE2,

∴∠EAC=∠EAD+∠CAD90°,

∴△EAC是直角三角形,

由勾股定理可得:

EC

∵∠EAB=∠EAD+∠BAD150°

EDC=∠EDA+∠ADC150°

∴∠EAB=∠EDC

EAED,ABDC

∴△EAB≌△EDC

EBEC

即△EBC是等腰三角形

∵五邊形ABCDE是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是直線EF,

∴能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的圓心在線段EF上,且此圓只要覆蓋住△EBC必能覆蓋五邊形ABCDE.從而此圓的圓心到△BCE的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.

設(shè)此圓圓心為O,則OEOBOCR,

FBC中點(diǎn)

BFCF,EFBC

RtBEF中,由勾股定理可得:

EF5

OFEFOE5R

RtOBF中,

解得:R2.8

∴能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的半徑為2.8

故選C

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②以為圓心,長(zhǎng)為半徑作弧,交于點(diǎn);

③連接.所以四邊形為所求作的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,

1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

2)完成下面的證明.

證明:∵,,

      

中,

∴四邊形為平行四邊形.

,

∴四邊形為菱形(   )(填推理的依據(jù)).

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···

···

···

···

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