Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E為CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于F；
（1）聯(lián)結(jié)BE，求證：BE=EF．
（2）聯(lián)結(jié)BD交AE于M，當(dāng)AD=1，AB=2，AM=EM時(shí)，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行線分線段成比例

專題：

分析：（1）證明△DAE≌△CFE可得AE=FE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=EF；
（2）過D作DH⊥BF于H，證明四邊形ABHD為矩形，再由AD=BH，可得AD=CH，進(jìn)而得到CH=1，然后根據(jù)勾股定理可得答案．

解答：（1）證明：∵ABCD為直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
在△DAE和△CFE中，

∠DAE=∠F ∠ADE=∠FCE DE=CE

，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE=FE，AD=FC，
在直角三角形ABF中：BE=AE=FE；

（2）∵AM=EM，AE=FE，
∴AM=

1

3

FM，
∵AD∥BC，
∴

AD

BF

=

AM

FM

=

1

3

，
過D作DH⊥BF于H，
∴∠DHB=90°，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形ABHD為矩形，
∵AD=BH，∴AD=CH，
在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2，
CD=

DH2+CH2

=

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了直角梯形，關(guān)鍵是掌握直角梯形中常用輔助線，作高，構(gòu)造矩形和直角三角形．