Question

如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm．有兩個(gè)動(dòng)圓；大圓半徑為4cm，向右平移，圓心從B點(diǎn)開始，至C點(diǎn)結(jié)束；小圓半徑為3cm，向左平移，圓心從D點(diǎn)開始，至A點(diǎn)結(jié)束．若兩圓同時(shí)開始移動(dòng)，且速度均為1cm/s，
（1）經(jīng)過多少秒兩圓出現(xiàn)第一次外切？
（2）經(jīng)過多少秒，兩圓的公共部分面積最大？最大面積約為多少平方厘米？（精確到0.01cm²）

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒兩圓出現(xiàn)第一次外切，如圖1，設(shè)⊙E與⊙F外切于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接EF，則EN=3cm，F(xiàn)N=4cm，AB=5cm，利用勾股定理計(jì)算出FG=2

6

，設(shè)BF=x，AE=10-x，10-x=x+2

6

，然后解方程即可；
（2）當(dāng)EF⊥BC時(shí)，兩圓的公共部分面積最大．由于BF=DE，則BF=

1

2

BC=5，即經(jīng)過5秒時(shí)，兩圓的公共部分面積最大，如圖2所示，MN為公共弦，EF與MN交于T點(diǎn)，設(shè)ET=a，則TF=5-a，利用勾股定理得9-a²=16-（5-a）²，解得a=

9

5

，再計(jì)算出TF=5-

9

5

=

16

5

，TN=

12

5

，根據(jù)垂徑定理得MN=2TN=

24

5

，在Rt△ENT中，根據(jù)正切的定義求出t∠TEN≈53°，在Rt△FNT中，求出∠TFN≈37°，兩圓的公共部分由兩個(gè)弓形組成，則可根據(jù)扇形的面積公式和三角形面積計(jì)算兩圓的公共部分面積．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒兩圓出現(xiàn)第一次外切，如圖1所示：設(shè)⊙E與⊙F外切于點(diǎn)N，
過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接EF，
∵EN=3cm，F(xiàn)N=4cm，AB=5cm，
∴FG=

72-52

=2

6

，
設(shè)BF=x，AE=10-x，
∴10-x=x+2

6

，
∴x=5-

6

，
答：經(jīng)過5-

6

秒兩圓出現(xiàn)第一次外切；

（2）當(dāng)EF⊥BC時(shí)，兩圓的公共部分面積最大．
∵BF=DE，
∴E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，
∴BF=

1

2

BC=5，
即經(jīng)過5秒時(shí)，兩圓的公共部分面積最大，如圖2所示，MN為公共弦，EF與MN交于T點(diǎn)，
設(shè)ET=a，則TF=5-a，
∵TN²=EN²-ET²，TN²=FN²-TF²，
∴9-a²=16-（5-a）²，解得a=

9

5

，
∴TF=5-

9

5

=

16

5

，
∴TN=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∴MN=2TN=

24

5

，
在Rt△ENT中，tan∠TEN=

TN

ET

=

4

3

，則∠TEN≈53°，
在Rt△FNT中，tan∠TFN=

TN

TF

=

3

4

，則∠TFN≈37°，
∴兩圓的公共部分面積=

2×53×π×32

360

-

1

2

×

24

5

×

9

5

+

2×37×π×42

360

-

1

2

×

24

5

×

16

5

≈18.17（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的圓心距為d、兩圓半徑分別為R、r：兩圓外離?d＞R+r；兩圓外切?d=R+r；兩圓相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；兩圓內(nèi)切?d=R-r（R＞r）；兩圓內(nèi)含?d＜R-r（R＞r）．也考查了垂徑定理和勾股定理．