Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1？若有，請(qǐng)指明有幾個(gè)并證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由．
（3）若a=

1

3

，c=2+b且拋物線在-2≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）先將a=b=1，c=-1代入y=3ax²+2bx+c，得到拋物線為y=3x²+2x-1，再用因式分解法求出方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根，即可得到該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將y=1代入y=3ax²+2bx+c，得到3ax²+2bx+c=1，則△=4b²-12a（c-1），再將c-1=-a-b代入△，整理得到△=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，由a≠0，得出△＞0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知方程3ax²+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1；
（3）先將a=

1

3

，c=2+b代入y=3ax²+2bx+c，得到拋物線為y=x²+2bx+b+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b，再分三種情況進(jìn)行討論：①x=-b＜-2；②x=-b＞2；③-2≤-b≤2．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1，c=-1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1．理由如下：
由y=1得3ax²+2bx+c=1，即3ax²+2bx+c-1=0，
△=4b²-12a（c-1）
=4b²-12a（-a-b）
=4b²+12ab+12a²
=4（b²+3ab+3a²）
=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，
∵a≠0，
∴△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1；

（3）若a=

1

3

，c=2+b，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b，分三種情況：
①當(dāng)x=-b＜-2時(shí)，即b＞2，則有拋物線在x=-2時(shí)取最小值為-3，此時(shí)-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，解得b=3，符合題意；
②當(dāng)x=-b＞2時(shí)，即b＜-2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為-3，此時(shí)-3=2²+2×2b+b+2，解得b=-

9

5

，不合題意，舍去；
③當(dāng)-2≤-b≤2時(shí)，即-2≤b≤2，則有拋物線在x=-b時(shí)取最小值為-3，此時(shí)-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，化簡(jiǎn)得：b²-b-5=0，解得：b=

1+ 21

2

（不合題意，舍去），b=

1- 21

2

．
綜上：b=3或b=

1- 21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)最值的求法．解決第（3）問(wèn)時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．