【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊ABx軸上,直角頂點Cy軸正半軸上,已知點A(﹣10).

1)請直接寫出點B、C的坐標(biāo):B 、C ;并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式;

2)現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把頂點E放在線段AB上(點E是不與A、B兩點重合的動點),并使ED所在直線經(jīng)過點C.此時,EF所在直線與(1)中的拋物線交于點M

①設(shè)AE=x,當(dāng)x為何值時,△OCE∽△OBC;

②在①的條件下探究:拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形?若存在,請寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1,,拋物線解析式為;

(2)①當(dāng)時,△OCE∽△OBC;②拋物線對稱軸上存在點P,使△PEM是等腰三角形.

【解析】

1)利用解直角三角形求出OC的長度,再求出OB的長度,從而可得點B、C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;

2)①根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OE的長度,再根據(jù)點A的坐標(biāo)求出AO的長度,相加即可得到AE的長度,即x的值;

②根據(jù)①確定點E在對稱軸上,然后求出∠FEB=60°,根據(jù)同位角相等兩直線平行求出EF//AC,再求出直線EF的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求出點M的坐標(biāo),再利用兩點間的距離公式求出EM的長度,再分PE=EM,PE=PMPM=EM三種情況分別求解.

1)∵點

由圖可知,∠BAC是三角板的60°角,∠ABC30°

,

∴點,點

設(shè)拋物線解析式為

解得

∴拋物線解析式為

2)①∵△OCE∽△OBC

解得

時,△OCE∽△OBC

②存在,理由如下:

拋物線的對稱軸為

∴點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點

,軸,

∴△ACE是等邊三角形

可得直線AC的解析式為

∵點E

∴直線EF的解析式為

聯(lián)立

解得 ,

∴點M的坐標(biāo)為(舍去)

分三種情況討論△PEM是等腰三角形

1)當(dāng)時,

∴點P的坐標(biāo)為

2)當(dāng)時,

∴點P的坐標(biāo)為

3)當(dāng)時,

∴點P的坐標(biāo)為

綜上所述,拋物線對稱軸上存在點P,使△PEM是等腰三角形.

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