Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，6），以A為頂點(diǎn)的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點(diǎn)（B在C左面），且∠BAC＝45°．

（1）如圖，連接OA，當(dāng)AB＝AC時(shí)，試說(shuō)明：OA＝OB．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，當(dāng)DC＝2時(shí)，將∠BAC沿AC所在直線(xiàn)翻折，翻折后邊AB交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) M的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-6）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠BAO和∠ABC的度數(shù)，然后利用等角對(duì)等邊即可證得；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，連接CM，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，證明△BAD≌△MAE，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，連接CM，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，證明△BAD≌△MAF，同理，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐標(biāo)．

（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于E，
∵A（-6，6），
∴△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°．
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE= ∠BAC=22.5°．
∴∠BAO=67.5°=∠ABC，
∴OA=OB．
（2）設(shè)OM=x，
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，如圖2，連接CM，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，
由∠BAM=∠DAE=90°，
可知：∠BAD=∠MAE；
∴在△BAD和△MAE中，
，
∴△BAD≌△MAE．
∴BD=EM=6-x．
又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC=CM=8-x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，如圖3，連接CM，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD=FM=6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC=CM=4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即82+x2=（4+x）2，
解得：x=6，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）．
綜上，M的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-6）．