Question

【題目】已知⊙O的半徑為5，EF是長(zhǎng)為8的弦，OG⊥EF于點(diǎn)G，點(diǎn)A在GO的延長(zhǎng)線上，且AO=13．弦EF從圖1的位置開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持OG⊥EF，如圖2．

[發(fā)現(xiàn)]在旋轉(zhuǎn)過程中，

（1）AG的最小值是　 　，最大值是　 　．

（2）當(dāng)EF∥AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α=　 　．

[探究]若EF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，如圖3，求AG的長(zhǎng)．

[拓展]如圖4，當(dāng)AE切⊙O于點(diǎn)E，AG交EO于點(diǎn)C，GH⊥AE于H．

（1）求AE的長(zhǎng)．

（2）此時(shí)EH=　 　，EC=　 　．

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：（1）10，16；（2）90°或270°；探究：AG=；拓展：（1）AE=12；（2），．

【解析】

發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)垂徑定理得：在Rt△EOG中，根據(jù)勾股定理求出OG=3，由旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，OG=3為半徑的圓，即可求出AG的最大值與最小值.

（2）根據(jù)OG⊥EF，EF∥OA，得出OG⊥OA，即可求出旋轉(zhuǎn)角度.

探究：過點(diǎn)G作GQ⊥OA于Q，在Rt△OQG中，求出∠GOQ的度數(shù)，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出即可求出AG的長(zhǎng)

拓展：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEA=90°，根據(jù)勾股定理即可求出AE的長(zhǎng).

（2）過點(diǎn)G作GP⊥OE于P，易證四邊形EHGP是矩形，證明△OGE∽△OPG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到即可求出的長(zhǎng)度，即可求出EH的長(zhǎng)度，再根據(jù)△AEC∽△AHG，求出EC的長(zhǎng)度.

發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，

連接OE，

∵OG⊥EF，

∴

在Rt△EOG中，OE=5，根據(jù)勾股定理得，OG=3，

由旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，OG=3為半徑的圓，

∴AG最大=OA+OG=13+3=16，

AG最小=OA﹣OG=13﹣3=10，

故答案為：10，16；

（2）∵OG⊥EF，EF∥OA，

∴OG⊥OA，

∴旋轉(zhuǎn)角α=90°或270°，

故答案為90°或270°；

探究：如圖3，

過點(diǎn)G作GQ⊥OA于Q，

在Rt△OQG中，∠GOQ=180°﹣120°=60°，OG=3，

∴

∴

在Rt△AQG中，

拓展：（1）∵AE切⊙O于E，

∴∠OEA=90°，

在Rt△AEO中，

（2）如圖4，

過點(diǎn)G作GP⊥OE于P，

∵HG⊥AE，OE⊥AE，

∴四邊形EHGP是矩形，

∴HG=EP，EH=PG，

∵∠OGE=∠OPG=90°，∠GOE=∠POG，

∴△OGE∽△OPG，

∴

∴

∴

∴

∵OE⊥AE，HG⊥AE，

∴CE∥HG，

∴△AEC∽△AHG，

∴

∴

∴

故答案為：