【題目】(2016廣東省梅州市第24題)(為方便答題,可在答題卡上畫(huà)出你認(rèn)為必要的圖形)
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)C的坐標(biāo)是,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.
(1)b =_________,c =_________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________;(直接填寫(xiě)結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)、-2,-3,(-1,0);(2)、(1,-4)或(-2,5);(3)、(,)或(,)
【解析】
試題分析:(1)、根據(jù)題意得出答案;(2)、分以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算;兩種情況都根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)、根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短,根據(jù)OC=OA=3,OD⊥AC得出 D是AC的中點(diǎn),從而得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),然后根據(jù)題意得出方程,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)、,, (-1,0).
(2)、存在.
第一種情況,當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥AC,交拋物線于點(diǎn)P1.過(guò)點(diǎn)P1作y軸的垂線,垂足是M.
∵OA=OC,∠AOC =90° ∴∠OCA=∠OAC=45°. ∵∠ACP1=90°, ∴∠MCP1 =90°-45°=45°=∠C P1M.
∴MC=MP1. 由(1)可得拋物線為.
設(shè),則, 解得:(舍去),.
∴. 則P1的坐標(biāo)是.
第二種情況,當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥AC,交拋物線于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作y軸的垂線,垂足是N,AP2交y軸于點(diǎn)F. ∴P2N∥x軸. 由∠CAO=45°, ∴∠OAP2=45°. ∴∠FP2N=45°,AO=OF=3.
∴P2N=NF. 設(shè),則. 解得:(舍去),.
∴, 則P2的坐標(biāo)是.
綜上所述,P的坐標(biāo)是或
(3)、連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.
根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短. 由(1)可知,在Rt△AOC中,
∵OC=OA=3,OD⊥AC, ∴ D是AC的中點(diǎn). 又∵DF∥OC, ∴.
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是 則, 解得:.
∴當(dāng)EF最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下面的圖形中,對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最少的圖形是( )
A.圓B.長(zhǎng)方形C.正三角形D.正六邊形
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【題目】下列說(shuō)法:①平角就是一條直線;②直線比射線線長(zhǎng);③平面內(nèi)三條互不重合的直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè);④連接兩點(diǎn)的線段叫兩點(diǎn)之間的距離;⑤兩條射線組成的圖形叫做角;⑥一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角,這條射線是這個(gè)角的角平分線,其中正確的有( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016廣西省南寧市第24題)如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,AE=AF,BE與CF交于點(diǎn)D,則對(duì)于下列結(jié)論:
①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分線上.
其中正確的是( 。
A. ① B. ② C. ①和② D. ①②③
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,
BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:DE=AD+BE;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出DE、AD、BE之間的等量關(guān)系并加以證明.
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論.
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【題目】某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中的一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為150,那么由此求出的平均數(shù)比實(shí)際平均數(shù)多 .
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【題目】一條直線上有A,B,C三點(diǎn),AB=6cm,BC=2cm,點(diǎn)P,Q分別是線段AB,BC的中點(diǎn),則PQ= ______ cm.
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