Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB'C'（點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′，C′），延長(zhǎng)C′B′分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，若DE＝2，則AD的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，設(shè)AB＝x，BC＝2x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，由“HL”可得Rt△ABE≌Rt△AB'E，可得∠BAE＝∠B'AE＝30°，可求BE＝x，由銳角三角函數(shù)可得EF＝，通過(guò)證明△EDF∽△ADB'，可得AD的長(zhǎng)．

解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，連接AE，

∵∠ABC＝90°，

∴

設(shè)AB＝x，BC＝2x，

∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB'C'

∴AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，

∵AB＝AB'，AE＝AE

∴Rt△ABE≌Rt△AB'E（HL）

∴∠BAE＝∠B'AE＝30°，且∠B＝90°，

∴BA＝BE＝x，

∴BE＝x，

∴EC＝x，

∵ ，且EC＝x，

∴EF＝

∵∠AB'D＝∠EFD＝90°，∠EDF＝∠ADB'，

∴△EDF∽△ADB'

∴

∴

∴AD＝

故答案為：