Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF，AF、BE交于點(diǎn)P．
（1）求證：AF=BE；
（2）請(qǐng)你猜測(cè)∠BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）連接EF，試猜想△PEF能否為等邊三角形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可得出AD=AB，DE=CF，再由等腰梯形的同一底邊上的底角相等可得出∠BAE=∠ADF，從而可判斷△ABE≌△DAF，也可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）可得∠ABE=∠DAF，再由∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAF=∠BAE，結(jié)合題意可得出答案；
（3）假設(shè)△PEF是等邊三角形，即可證明△ABP也是等邊三角形，則P一定在BC上，AP∥CD，與已知相矛盾，從而證得．

解答：解：（1）由題意得，BA=AD（等量代換），∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性質(zhì)），
又∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代換），
在△BAE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）∵∠DCB=60°，
∴∠BAE=120°，
由△BAE≌△ADF可得∠ABE=∠DAF，
故可得∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAE=120°；

（3）△PEF不能是等邊三角形．
理由是：根據(jù)（2）可知，∠BPF=120°，則∠APB=∠EPF=60°，
若△PEF是等邊三角形，則PE=PF，
而根據(jù)（1）可得AF=BE，
∴AP=BP，
則△ABP是等邊三角形，
又∵等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB=60°，
∴P在BC上，且AP∥DC，
則F不存在．
則△PEF不能是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰梯形的各個(gè)性質(zhì)，難度一般．