Question

【題目】在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達掃描實驗．如圖，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程．小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，旋轉(zhuǎn)1秒，此時光線AP交BC邊于點M，BM的長為（20 ﹣20）cm．
（1）求AB的長；
（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時光線AP與BC邊的交點在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，交點又在什么位置？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=30°．

令A(yù)B=2tcm．

在Rt△ABD中，AD= AB=t，BD= AB= t．

在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，

∴MD=AD=t．

∵BM=BD﹣MD．即 t﹣t=20 ﹣20．

解得t=20．

∴AB=2×20=40cm．

答：AB的長為40cm．

（2）解：如圖2，當光線旋轉(zhuǎn)6秒，

設(shè)AP交BC于點N，此時∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN= = = ．

∴光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點N距點B cm處．

如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．

由題意可知，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，

而2014=125×16+14，即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時和BC的交點是同一個點Q．

旋轉(zhuǎn)14s的過程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ=BN= ，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴BC=2ABcos30°=2×40× =40 ，

∴BQ=BC﹣CQ=40 ﹣ = ，

∴光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點Q在距點B cm處．

【解析】（1）如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．令A(yù)B=2tcm．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)可得AD= AB=t，BD= AB= t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD﹣MD，得到關(guān)于t的方程，求得t的值，從而求得AB的長；（2）如圖2，當光線旋轉(zhuǎn)6秒，設(shè)AP交BC于點N，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)可得BN；如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．求得CQ= ，BC=40 ．根據(jù)BQ=BC﹣CQ即可求解．