Question

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí),做了如下探究：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF.

(1)觀察猜想

如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)。

①BC與CF的位置關(guān)系為：___；

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：___;(將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明；

(3)拓展延伸

如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=,CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC；（3）.

【解析】

（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4,AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

(1)①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故答案為：垂直；

②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

故答案為：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠ABD=180°45=135°，

∴∠BCF=∠ACF∠ACB=135°45°=90°，

∴CF⊥BC.

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC.

(3)過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC=90，AB=AC，

∴BC=AB=4,AH=BC=2，

∴CD=BC=1,CH=BC=2，

∴DH=3，

由(2)證得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵四邊形ADEF是正方形,

∴AD=DE,∠ADE=90，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH與△DEM中,

∠ADH=∠DEM，∠AHD=∠DME，AD=DE，

∴△ADH≌△DEM(AAS)，

∴EM=DH=3，DM=AH=2，

∴CN=EM=3，EN=CM=3，

∵∠ABC=45，

∴∠BGC=45，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

∴EG=.