Question

如圖，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求證：△ADM是等腰直角三角形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，連接EC，求∠ACE的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D落在AC上時(shí)，連接BD，CE，并取BD，CE的中點(diǎn)M，N，若AD=1，AB=

3

，則MN=

 

（請直接寫出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）如圖1，證明∠MAD=∠D=45°，即可解決問題．
（2）如圖2，證明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠B=45°，即可解決問題．
（3）如圖3，證明∠MAN=90°，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出AM=AN=1，運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解答：解：（1）由題意得∠B=∠D=45°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠B=90°
∴∠DAB=45°，
∴∠MAD=90°-45°=45°，
∴∠AMD=90°，且AM=DM，
即△ADM是等腰直角三角形．
（2）由題意得：∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ACE與△ABD中，

AC=AB ∠EAC=∠DAB AE=AD

，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°．
（3）如圖3，連接AM、AN；
類比（2）中的方法，同理可證△AEC≌△ADB，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD（設(shè)為α）；
∵點(diǎn)M、N分別為BD、CE的中點(diǎn)，
∴AN=CN，AM=DM，
∴∠NAC=∠NCA=α，∠MAD=∠MDA（設(shè)為β）；
在△ABD中，∵α+β=90°，
∴∠MAN=α+β=90°；
由勾股定理得：BD2=12+(

3

)2=4，
∴BD=2，AM=

1

2

BD=1；同理可求AN=1；
由勾股定理得：MN=

12+12

=

2

．
故答案為

2

．

點(diǎn)評：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．