【題目】(題型一)請你參與下面的探究過程,完成所提出的問題.

(1)探究1:如圖11-3-3(1),P是△ ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點,若∠A=70°,求∠BPC度數(shù).

(2)探究2:如圖11-3-3(2),P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點,求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點,設(shè)∠A+∠D=α.

①直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系;

②根據(jù)α值的情況,判斷△BPC的形狀.(按角分類)

(1) (2) (3)

【答案】(1)∠BPC=125°;

(2)∠BPC=90°-∠A.理由見解析;

(3)當0°<α<180°時,△BPC是鈍角三角形;當α=180°時,△BPC是直角三角形;當α>180°時,△BPC是銳角三角形.

【解析】試題分析:1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+ACB的度數(shù),再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠PBC+BCP的度數(shù),由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案;

2)根據(jù)角平分線的定義可得∠PCE=BCE,PBD=CBD,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解;

3①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BAD+CDA,然后同理(2)解答即可;②根據(jù)α的值的情況,得到∠P的取值范圍,即可得到結(jié)論.

試題解析:(1∵∠A=70°,

∴∠ABC+ACB=180°-A=110°.

BP,CP分別是∠ABC,ACB的平分線,

∴∠ABC=2PBCACB=2BCP,

∴∠PBC+BCP=1/2ABC+ACB=55°.

∵∠PBC+BCP+BPC=180°

∴∠BPC=125°.

2BPC=90°-A.

理由:∵BP,CP分別是外角∠DBC,ECB的平分線,

∴∠PBC+PCB=DBC+ECB=180°+A.

PBC中,∠BPC=180°-180°+A=90°-A.

3)如圖

①延長BA,CD交于點Q,

由(2)可知,∠BPC=90°-Q

∴∠Q=180°-2BPC,

∴∠BAD+CDA=180°+Q=180°+180°-2BPC=360°-2BPC.

∴∠BPC=180°-α.

②當0°<α<180°時,BPC是鈍角三角形;

α=180°時,BPC是直角三角形;

α>180°時,BPC是銳角三角形.

練習冊系列答案
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①年用水量不超過180m3的該市居民家庭按第一檔水價交費;

②年用水量超過240m3的該市居民家庭按第三檔水價交費;

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