Question

在四邊形ABCD中，點E，F，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點，EG與FH相交于O點．
（1）猜想EG與FH有怎樣的關系？并證明你的結論．
（2）請?zhí)砑右粋�條件

 

，使得EG與FH互相垂直．
（3）若四邊形AEOH，BEOF，CFOG的面積分別為15，17，16，求四邊形DGOH的面積；若四邊形AEOH，BEOF，CFOG，DGOH的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，利用（2）的計算結果，直接寫出S₁，S₂，S₃，S₄它們之間的關系．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）首先連接EF，FG．GH．HE，BD，AC，由在四邊形ABCD中，點E，F，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點，可得EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，即可證得四邊形EFGH是平行四邊形，繼而證得結論；
（2）由EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，可得當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形，即可得EG與FH互相垂直；
（3）首先連接OA，OB，OC，OD，由點E，F，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點，即可得S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，繼而可證得S₁+S₃=S₂+S₄．

解答：解：（1）EG與FH互相平分．
理由：如圖（1）連接EF，FG．GH．HE，BD，AC，
∵在四邊形ABCD中，點E，F，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點，
∴EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EG與FH互相平分；

（2）條件：AC=BD．
∵EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，
∴EF=HG=FG=EH，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH；
故答案為：AC=BD；

（3）如圖（2），連接OA，OB，OC，OD，
∵點E，F，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，
∵四邊形AEOH，BEOF，CFOG的面積分別為15，17，16，
∴S_△AOE+S_△COF=S_△BOE+S_△BOF=S_{四邊形BEOF}=17，
∴S_△AOH+S_△COG=S_{四邊形AEOH}+S_{四邊形BEOF}+S_{四邊形CFOG}-（S_△AOE+S_△COF+S_△BOE+S_△BOF）=15+17+16-（17+17）=14，
∴S_{四邊形DGOH}=S_△DOH+S_△DOG=S_△AOH+S_△COG=14；
∵S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，
∴S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOH+S_△DOG，
∴S₁+S₃=S₂+S₄．

點評：此題考查了中點四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．