【題目】若關于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣2m﹣3=0(m為實數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該方程均有兩個不等的實根;
(2)解方程求出兩個根x1,x2(x1>x2),并求w=x1(x1+x2)+x12的最值.
【答案】(1)見解析;(2)-.
【解析】
(1)根據(jù)b2﹣4ac與零的關系即可判斷出的關于x的一元二次方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0(m為實數(shù))的根的情況;
(2)用因式分解法求得方程的兩個根,代入w中,化簡并配方可得最小值.
(1)△=[2(m﹣1)]2﹣4×1×(m2﹣2m﹣3)=16>0,∴不論m為何值,該方程均有兩個不等的實根;
(2)x2+2(m﹣1)x+m2﹣2m﹣3=0,(x+m﹣3)(x+m+1)=0.
∵x1>x2,∴x1=﹣m+3,x2=﹣m﹣1,∴w=x1(x1+x2)+=(﹣m+3)(﹣2m+2)+(﹣m+3)2=3m2﹣14m+15=3(m﹣)2﹣.
∵3>0,∴w有最小值是﹣.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過點A(﹣1,0)和B(0,3).
(1)求拋物線的表達式;
(2)拋物線與x軸的正半軸交于點C,連接BC.設拋物線的頂點P關于直線y=t的對稱點為點Q,若點Q落在△OBC的內(nèi)部,求t的取值范圍.
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【題目】已知,如圖1:中,、的平分線相交于點,過點作交、于、
(1)直接寫出圖1中所有的等腰三角形.指出與、間有怎樣的數(shù)量關系?
(2)在(1)的條件下,若,,求的周長;
(3)如圖2,若中,的平分線與三角形外角的平分線交于點,過點作交于,交于,請問(1)中與、間的關系還是否存在,若存在,說明理由:若不存在,寫出三者新的數(shù)量關系,并說明理由;
(4)如圖3,、的外角平分線的延長線相交于點,請直接寫出,、,之間的數(shù)量關系.不需證明.
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【題目】.如圖,點A、B在⊙O上,直線AC是⊙O的切線,OD⊥OB,連接AB交OC于點D.
⑴求證:AC=CD
⑵若AC=2,AO=,求OD的長度.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,點C沿EF折疊后與點O重合,則∠CEF的度數(shù)是 .
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【題目】如圖,在△ABC中,中線BE,CD相交于點O,連接DE,下列結論: ①=; ②=;③=;④=.其中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為個檔次,生產(chǎn)第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品一天生產(chǎn)件,每件利潤元,每提高一個檔次,利潤每件增加元.
(1)每件利潤為元時,此產(chǎn)品質(zhì)量在第幾檔次?
(2)由于生產(chǎn)工序不同,此產(chǎn)品每提高一個檔次,一天產(chǎn)量減少件.若生產(chǎn)第檔的產(chǎn)品一天的總利潤為元(其中為正整數(shù),且≤≤),求出關于的函數(shù)關系式;若生產(chǎn)某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為元,該工廠生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品?
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【題目】如圖,直線在平面直角坐標系中與軸交于點A,點B(-3,3)也在直線上,將點B先向右平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度得到點C,點C也在直線上.
(1)求點C的坐標和直線的解析式;
(2)已知直線:經(jīng)過點B,與軸交于點E,求△ABE的面積.
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【題目】如圖,拋物線y=mx2﹣2mx﹣3m(m>0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點M為拋物線的頂點,且OC=OB.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若拋物線上有一點P,連PC交線段BM于Q點,且S△BPQ=S△CMQ,求P點的坐標.
(3)把拋物線沿x軸正半軸平移n個單位,使平移后的拋物線交直線BC于E、F兩點,且E、F關于點B對稱,求n的值.
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