Question

（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C是⊙O上兩點，且==，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若CD=2，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

(2)4

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OC，由=，根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；

（2）連結(jié)BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由==,得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以

∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半徑為4．

試題解析：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵=

∴∠FAC=∠BAC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠FAC=∠OCA

∴OC∥AF

∵CD⊥AF

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O的切線

（2）【解析】
連結(jié)BC，如圖

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∵==

∴∠BOC=×180°=60°

∴∠BAC=30°

∴∠DAC=30°

在Rt△ADC中，CD=2

∴AC=2CD=4

在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4

∴AB=2BC=8

∴⊙O的半徑為4.

考點：圓周角定理, 切線的判定定理，30°的直角三角形三邊的關(guān)系