Question

【題目】如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．

（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；

（2）如果∠BDE=60°，PD=，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）PD是⊙O的切線．（2）1．

【解析】

試題分析：（1）要證是直線PD是為⊙O的切線，需證∠PDO=90°．因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°．

（2）根據(jù)已知可證△AOD為等邊三角形，∠P=30°．在Rt△POD中運(yùn)用三角函數(shù)可求解．

解：（1）PD是⊙O的切線．理由如下：

∵AB為直徑，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°．

∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，

∴∠ODA+∠PDA=90°．即∠PDO=90°．

∴PD是⊙O的切線．

（2）∵∠BDE=60°，∠ADB=90°，

∴∠PDA=180°﹣90°﹣60°=30°，

又PD為半圓的切線，所以∠PDO=90°，

∴∠ADO=60°，又OA=OD，

∴△ADO為等邊三角形，∠AOD=60°．

在Rt△POD中，PD=，

∴OD=1，OP=2，

PA=PO﹣OA=2﹣1=1．