Question

如圖，AB、BC、CD分別于⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）當0B=6cm，OC=8cm時，求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）求證MN是⊙O的切線，可以通過證明∠NMC=90°得出；
（2）連接OF，則OF⊥BC，根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長，然后根據(jù)△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑，圖中陰影部分的面積=△OBC的面積-扇形的面積．

解答：（1）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=2∠DCM．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°．
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑，
∴MN是⊙O的切線；

（2）解：連接OF，則OF⊥BC．
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=

OB2+OC2

=

62+82

=10，
∵S_△BOC=

1

2

•OB•OC=

1

2

•BC•OF，
∴6×8=10×OF，
∴0F=4.8cm，
∴⊙O的半徑為4.8cm．
∴S_陰影=

1

2

×6×8-

90π×4．82

360

=24-5.76π（cm²）．
綜上所述，⊙O的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是（24-5.76π）cm²．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．