Question

如圖1，已知雙曲線y₁=

k

x

（k＞0）與直線y₂=k′x交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問(wèn)題：

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；當(dāng)x滿足

 

時(shí)，y₁＜y₂；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O另作一直線l，交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．
①四邊形APBQ的形狀一定是

 

；
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求四邊形APBQ的面積；
③設(shè)點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，是否存在這樣的直線PQ，使得∠APB為直角？若存在，求x₁、x₂應(yīng)滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法即可求得雙曲線和直線的解析式，然后解方程組即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖象即可判斷出x的取值，
（2）①點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形．②平行四邊形的對(duì)角線把它分成四個(gè)面積相等的三角形，所以只要求出△AOP的面積，再將其乘以4就可以得到四邊形APBQ的面積③根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)x₁ x₂=k時(shí)OP=OA，此時(shí)APBQ是矩形，進(jìn)而得出∠APB為直角；

解答：解：（1）∵雙曲線y₁=kx（k＞0）經(jīng)過(guò)A（3，2）點(diǎn)，
∴2=

k

3

，解得：k=6，
∴雙曲線解析式為：y=6x，
∵直線y₂=k′x經(jīng)過(guò)A（3，2），
∴2=3k′，解得：k′=

2

3

，
∴直線AB為：y=

2

3

x，
解

y= 6 x y= 2 3 x

得

x=3 y=2

或

x=-3 y=-2

∴B（-3，-2）；
∵雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
∴根據(jù)圖象可知，-3＜x＜0，或x＞3時(shí)，y1＜y2；

（2）①∵AB、PQ是中心對(duì)稱圖形，
∴AO=OB，PO=OQ
∴四邊形APBQ是平行四邊形；
②∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）
∴雙曲線為y=

3

x

，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
過(guò)A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過(guò)P作PD⊥DC，垂足為D，
∴D（3，3），
∵S梯形=

1

2

（PD+OC）•DC=

1

2

（2+3）×3=

15

2

，S△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

×2×2=2，S△OAC=

1

2

OC•AC=

1

2

×3×1=

3

2

，
∴S△AOP=S梯形-S△APD-S△OAC=4，
∴S平行四邊形=4S△AOP=16．

③∵當(dāng)x1•x2=k時(shí)，此時(shí)A（x1，x2），P（x2，x1），
∴OA=OP，對(duì)角線相等且平分的四邊形是矩形，
∴四邊形APBQ是矩形，
∴∠APB為直角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用，同時(shí)也訓(xùn)練了平行四邊形和矩形的相關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的知識(shí)，本題考點(diǎn)清晰，難度不大，但數(shù)形結(jié)合能比較綜合的考查學(xué)生的分析能力．