Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+m-2=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．
（2）設(shè)x₁，x₂為方程的兩個非負實數(shù)根，求x₁²+x₂²的最大值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-2）²-4（m-2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=m-2≥0，再利用完全平方公式得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-2m+8，然后根據(jù)m的取值范圍確定代數(shù)式的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（-2）²-4（m-2）≥0，
解得m≤3；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2，x₁•x₂=m-2≥0，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=4-2（m-2）
=-2m+8，
∵m≤3且m-2≥0，
∴2≤m≤3，
∴當m=2時，x₁²+x₂²的最大值為4．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．