Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．

（1）在平移過程中，得到△A1B1C1，此時頂點(diǎn)A1恰落在直線l上，寫出A1點(diǎn)的坐標(biāo)　 　；

（2）繼續(xù)向右平移，得到△A2B2C2，此時它的外心P恰好落在直線l上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在這樣的點(diǎn)，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）（，3）。

（2）P（3，1）。

（3）存在四個點(diǎn)，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

【解析】

試題（1）∵等邊三角形ABC的高為3，∴A1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3。

∵頂點(diǎn)A1恰落在直線l上，∴，解得；x=。

∴A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（，3）。

（2）設(shè)P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點(diǎn)H，連接B2P，先求出A2B2=2，HB2=，根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出PH=1，將y=1代入，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

設(shè)P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點(diǎn)H，連接B2P，

在等邊三角△A2B2C2中，高A2H=3，

∴A2B2=2，HB2=。

∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，

∴∠PB2H=30°。

∴PH=1，即y=1。

將y=1代入，解得：x=3。

∴P（3，1）。

（3）分四種情況分別討論。

∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，

∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，

∴點(diǎn)P滿足的條件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C2（4，0），點(diǎn)C2滿足直線的關(guān)系式，∴點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合。

∴∠PMB2=30°。

設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構(gòu)成等腰三角形，

此時QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2。

作QD⊥x軸與點(diǎn)D，連接QB2，

∵QB2=2，∠QB2D=2∠PMB2=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。

設(shè)點(diǎn)S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，

此時SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S。

作SF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵SC2=2，∠SB2C2=∠PMB2=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。

設(shè)點(diǎn)R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構(gòu)成等腰三角形，

此時RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R。

作RE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵RC2=2，∠RC2E=∠PMB2=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。

綜上所述，存在四個點(diǎn)，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。