Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AB＝BC，過點A作BC的垂線交BC于點E，交BD于點M，∠ABC＞60°．

（1）若ME＝3，BE＝4，求EC的長度．

（2）如圖，延長CE至點G；使得EC＝GE；過點G作GF垂直于AB的延長線于點H，交AE的延長線于點F，

求證：AE＝GF+EF．

Answer 1

【答案】（1）CE＝；（2）見解析

【解析】

（1）由鄰邊相等的平行四邊形得出四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，證出∠MBE＝∠CAE，證得△MBE∽△CAE，得出＝＝，由勾股定理求出MB＝＝5，則＝＝，設CE＝3k，則CA＝5k，CO＝AC＝，CB＝CE+EB＝3k+4，由sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，得出＝，求出k＝，即可得出結(jié)果；

（2）連接CM，易證M是△ABC的三條高的交點，即CM⊥AB，推出GH∥CM，即GF∥CM，得出∠CME＝∠GFE，由AAS證得△CME≌△GFE，得出CM＝GF，EM＝EF，由垂直平分線的性質(zhì)得出MC＝MA，推出GF＝MA，即可得出結(jié)論．

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠BOC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠MBE+∠ACE＝90°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠BEM＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，

∴∠MBE＝∠CAE，

∴△MBE∽△CAE，

∴＝＝，

MB＝＝＝5，

∴＝＝，

設CE＝3k，則CA＝5k，

∴CO＝AC＝，

CB＝CE+EB＝3k+4，

∵sin∠OBC＝＝，sin∠MBE＝＝，∠MBE＝∠OBC，

∴＝，

∴k＝，

∴CE＝3k＝；

（2）證明：連接CM，如圖2所示：

∵AE⊥BC，BO⊥AC，AE與BO交于M，

∴M是△ABC的三條高的交點，即CM⊥AB，

∵GH⊥AB，

∴GH∥CM，即GF∥CM，

∴∠CME＝∠GFE，

在△CME和△GFE中，

，

∴△CME≌△GFE（AAS），

∴CM＝GF，EM＝EF，

∵BD⊥AC，OA＝OC，

∴MC＝MA，

∴GF＝MA，

∵AE＝AM+ME，

∴AE＝GF+EF．