【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,已知點A(﹣3,0),B0m),C1,0).

1)求m值;

2)設(shè)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合).

①過點Px軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PDAB于點D.動點P在什么位置時,PDE的周長最大,求出此時P點的坐標(biāo);

②連接AP,并以AP為邊作等腰直角APQ,當(dāng)頂點Q恰好落在拋物線的對稱軸上時,求出對應(yīng)的點P坐標(biāo).

【答案】(1)m的值為3;(2)①點P坐標(biāo)為(﹣,);②點P的坐標(biāo)為()、(﹣1,2)、(﹣23

【解析】

1)只需把點A、C的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,就可求出拋物線的解析式,就可求出m的值.

2)①易得△PDE是等腰直角三角形,PE最大時△PDE的周長就最大.用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,則點E的橫坐標(biāo)也為a,則點P、E的縱坐標(biāo)就可用a的代數(shù)式表示,PE的長度也就可以用a的代數(shù)式表示,然后運用二次函數(shù)的最值性就可求出PE最大(即△PDE的周長最大)時,點P的坐標(biāo).

②等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊,故分三種情況進(jìn)行討論,然后構(gòu)造全等三角形,得到相等線段,然后用一個字母表示一條線段,從而將點P的坐標(biāo)用該字母表示,然后代入拋物線的解析式,就可求出點P的坐標(biāo).

1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),C1,0),∴

解得:,∴拋物線的解析式為y=x22x+3

∵點B0,m)在拋物線y=x22x+3上,∴m=3,∴m的值為3

2)①如圖1

OA=OB=3,∠AOB=90°,∴∠AB0=45°.

PFOA,PDAB,∴∠PDA=EFA=90°=AOB,∴EFOB,∴∠PED=ABO=45°,∴PD=PEsin45°PE,DE=PEcos45°PE,∴△PDE的周長為(1PE

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則有

解得:,∴直線AB的解析式為y=x+3

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,則點E的橫坐標(biāo)也為a,∴yP=a22a+3,yE=a+3,∴PE=yPyE=(﹣a22a+3)﹣(a+3=a23a=﹣(a2

∵﹣10,∴當(dāng)a時,PE取到最大值,△PDE的周長也就取到最大值.

此時yP=﹣(22×(+3,∴當(dāng)點P坐標(biāo)為()時,△PDE的周長取到最大值.

②Ⅰ.若AQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖2,則有AP=PQ,∠APQ=90°.

過點PPGOA,垂足為G,過點PPTQH,垂足為T

∵∠PGH=GHT=PTH=90°,∴四邊形PGHT是矩形,∴∠GPT=90°,PT=GH,PG=HT,∴∠APG=90°﹣∠GPQ=TPQ

在△AGP和△QTP中,,∴△AGP≌△QTP,∴AG=TQ,PG=PT,∴PG=GH

∵拋物線y=x22x+3的對稱軸為x1,∴OH=1

設(shè)PG=tt0),則OG=GH+OH=PG+OH=t+1

∵點P在第二象限,∴點P的坐標(biāo)為(﹣t1t).

∵點P在拋物線y=x22x+3上,∴t=﹣(﹣t122(﹣t1+3

整理得:t2+t4=0

解得:t1(舍去),t2,∴點P的坐標(biāo)為().

Ⅱ.若PQ為等腰直角△APQ的底邊,如圖3,則有AP=AQ,∠PAQ=90°.

過點PPGOA,垂足為G,則有∠APG=90°﹣∠PAG=HAQ

在△AGP和△QHA中,,∴△AGP≌△QHA,∴PG=AH

AH=AOOH=31=2,∴PG=2,∴yP=2

解﹣x22x+3=2得:x1=1,x2=1

∵點P在第二象限,∴點P的坐標(biāo)為(﹣1,2).

Ⅲ.若AP為等腰直角△APQ的底邊,如圖4,則有AQ=PQ,∠AQP=90°.

過點PPTQH,垂足為T,則有∠AQH=90°﹣∠PQT=TPQ

在△AHQ和△QTP中,∵∠AQH=TPQ,∠AHQ=QTP,QA=QP,∴△AHQ≌△QTP,∴AH=QT,QH=PT

AH=2,∴QT=2

設(shè)QH=PT=pp0),則TH=p+2

∵點P在第二象限,∴點P的坐標(biāo)為(﹣p1,p+2).

∵點P在拋物線y=x22x+3上,∴p+2=﹣(﹣p122×(﹣p1+3

整理得:p2+p2=0

解得:p1=2(舍去),p2=1,∴點P的坐標(biāo)為(﹣2,3).

綜上所述:點P的坐標(biāo)為()、(﹣1,2)、(﹣23).

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類別

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

乒乓

a

0.3

籃球

20

足球

15

b

排球

合計

c

1

請你根據(jù)以上信息解答下列各題:

1a   ;b   ;c   ;

2)在扇形統(tǒng)計圖中,排球所對應(yīng)的圓心角是   度;

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