Question

如圖1，?ABCD中，點E為AD的中點，連接CE，點M，N為CE上兩點，且BM∥DN．

﹙1﹚求證：BM=2DN；
﹙2﹚如圖2，連接DM并延長交AB于F，若BF=2AF，求

DM

MF

的值；
﹙3﹚在（2）的條件下，連接BN，求

S△BFM

S梯形BMDN

的值．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）欲證明BM=2DN，只需求得相似三角形△EDN∽△CBM的相似比即可；
（2）取BF、BM的中點H、Q，連接HQ、AQ，則HQ是三角形的中位線，所以MF=2QH，根據(jù)BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位線，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得

DM

MF

的值；
（3）連接BD，作BH⊥DN于H，先求得

S△BDM

S△BMF

=

3

4

，得出S_△BMF=

4

3

S_△BDM，進而∴

S△BDN

S△BDM

=

1 2 DN•BH

1 2 BM•BH

=

DN

BM

=

1

2

，得出S_△BDM=2S_△BDN，從而得出S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，即可求得

S△BFM

S梯形BMDN

的值．

解答：（1）證明：如圖1，∵點E為AD的中點，
∴DE=

1

2

AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEN=∠BCM，ED=

1

2

CB
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，
∴

ED

CB

=

DN

BM

=

1

2

，
∴BM=2DN；

﹙2﹚如圖2，取BF、BM的中點H、Q，連接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位線，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位線，
∴DM=PM=3PF，
∴

DM

MF

=

3PF

4PF

=

3

4

．

（3）如圖3，連接BD，作BH⊥DN于H，
∵BM∥DN，
∴BH⊥BM，
∵

DM

MF

=

3

4

，
∴

S△BDM

S△BMF

=

3

4

，
∴S_△BMF=

4

3

S_△BDM，
∵BM∥DN，
∴

S△BDN

S△BDM

=

1 2 DN•BH

1 2 BM•BH

=

DN

BM

=

1

2

，
∴S_△BDM=2S_△BDN，
∴S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，
∴S_△BMF=

4

3

S_△BDM=

8

3

S_△BDN，
∴

S△BMF

S梯形BMDN

=

8 3 S△BDN

3S△BDN

=

8

9

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，以及三角形的面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是本題的關(guān)鍵．