Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=CD，∠ABC=60°，一直角三角板的60°角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，并繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖（1），直角三角板60°角的兩邊分別與BC，CD交于M，N，求證：DN+BM=MN；
（2）如圖（2），直角三角板60°角的兩邊所在的直線分別與BC，CD所在的直線交于點(diǎn)M，N．如圖（3），直角三角板60°角的兩邊所在的直線分別與直線BC交于點(diǎn)P，M，與直線CD交于點(diǎn)N．此時，圖（2）、圖（3）中MN，DN，BM三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請分別寫出其數(shù)量關(guān)系，并選取其中一個加以證明；
（3）如圖（3），在（2）的結(jié)論下，BP=2，AP=

19

，求MN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖（1），連接MN，延長CB至點(diǎn)F，使BF=DN，先由AB=AD=CD，∠ABC=60°，得出∠C=60°，∠ABF=120°，由AD∥BC，得出∠D=120°，再利用SAS證明△ABF≌△ADN，于是AF=AN，∠FAB=∠NAD，再證明∠FAM=∠BAM+∠FAB=60°=∠MAN，然后利用SAS證明△AFM≌△ANM，得出MF=MN，進(jìn)而得到DN+BM=MN；
（2）圖（2）中BM=DN+MN；圖（3）中MN=DN+BM．如圖（2），在BC上截取BF，使BF=DN，先由AB=AD=CD，∠ABC=60°，得出∠DCB=60°，由AD∥BC，得出∠ADN=60°，再利用SAS證明△ABF和△ADN，于是AF=AN，∠BAF=∠DAN，再證明∠FAM=60°=∠MAN，然后利用SAS證明△AFM≌△ANM，得出FM=MN，進(jìn)而得到BM=DN+MN；
（3）先在△ABP中，利用余弦定理求出AB=5，再證明△ABP∽△MAP，得出

AB

AM

=

BP

AP

，求出AM=

5 19

2

，在△APM中，利用余弦定理求出PM=

19

2

，那么BM=PM-BP=

15

2

，再證明△NAD∽△NPC，得出

DN

CN

=

AD

PC

，求出DN=

25

3

，然后根據(jù)MN=DN+BM即可求解．

解答：解：（1）如圖（1），連接MN，延長CB至點(diǎn)F，使BF=DN，

∵AB=AD=CD，∠ABC=60°，
∴∠C=60°，∠ABF=120°，
∵AD∥BC，
∴∠D=120°．
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠ABF=∠D BF=DN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠FAB=∠NAD，
∵∠BAD=120°，∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠NAD=60°，
∴∠FAM=∠BAM+∠FAB=60°=∠MAN．
在△AFM和△ANM中，

AF=AN ∠FAM=∠MAN AM=AM

，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴MF=MN．
∵M(jìn)F=BM+FB=BM+DN，
∴DN+BM=MN；

（2）圖（2）中BM=DN+MN；圖（3）中MN=DN+BM．下面證明BM=DN+MN．
如圖（2），在BC上截取BF，使BF=DN，

∵AB=AD=CD，∠ABC=60°，
∴∠DCB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADN=60°．
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠ABF=∠ADN BF=DN

，
∴△ABF和△ADN（SAS），
∴AF=AN，∠BAF=∠DAN，
∵∠DAN+∠DAM=60°，
∴∠BAF+∠DAM=60°，
∴∠FAM=120°-60°=60°=∠MAN．
在△AFM和△ANM中，

AF=AN ∠FAM=∠MAN AM=AM

，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM=MN，
∵BM=BF+FM，
∴BM=DN+MN；

（3）如圖（3），設(shè)AB=x．

在△ABP中，∵∠ABP=60°，BP=2，AP=

19

，
∴AP²=AB²+BP²-2AB•BP•cos∠ABP，
∴19=x²+4-2x×2×

1

2

，
整理得x²-2x-15=0，
解得x₁=5，x₂=-3（不合題意舍去），
∴AB=5．
在△ABP與△MAP中，

∠ABP=∠MAP=60° ∠APB=∠APM

，
∴△ABP∽△MAP，
∴

AB

AM

=

BP

AP

，即

5

AM

=

2

19

，
∴AM=

5 19

2

．
在△APM中，∵AM=

5 19

2

，AP=

19

，∠MAP=60°，
∴PM²=AM²+AP²-2AM•AP•cos∠MAP，
=

475

4

+19-2×

5 19

2

×

19

×

1

2

=

475

4

+19-

95

2

=

361

4

，
∴PM=

19

2

，
∴BM=PM-BP=

19

2

-2=

15

2

．
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=CD=5，∠ABC=60°，
∴BC=10，PC=BC-BP=10-2=8．
∵AD∥PC，
∴△NAD∽△NPC，
∴

DN

CN

=

AD

PC

，即

DN

DN+5

=

5

8

，
∴DN=

25

3

，
∴MN=DN+BM=

25

3

+

15

2

=

95

6

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦定理等知識，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．