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【題目】如圖,在RtABC中,ACB=90°,以AC為直徑的OAB邊交于點D,過點D的切線交BC于點E

(1)求證:EB=EC

(2)當ABC滿足什么條件時,四邊形ODEC是正方形?證明你的結論.

【答案】詳解解析

【解析】試題(1)連接CD,在RtABC中,ACB=90°,AC為直徑即可判定BCO的切線,所以ADC=90°,根據切線長定理可得DE=CE,根據等腰三角形的性質可得DCE=CDE,再由DCE+EBD=CDE+EDB=90°,即可得EBD=EDB,所以DE=BE,即可得CE =BE;(2)當ABC是等腰直角三角形時,四邊形ODEC是正方形,先證得四邊形ODEC是矩形,再由EC=ED,即可判定四邊形ODEC是正方形.

試題解析:

1)證明:連接CD,

AC是直徑,ACB=90°,

BCO的切線,ADC=90°

DEO的切線,

DE=CE(切線長定理).∴∠DCE=CDE,

∵∠DCE+EBD=CDE+EDB=90°,

∴∠EBD=EDBDE=BE,

CE =BE

2)解:當ABC是等腰直角三角形時,四邊形ODEC是正方形. 證明如下:

ABC是等腰直角三角形.則B=45°,

∴∠DCE=CDE=45°,則DEB=90°

OC=OD,ACB=90°,∴∠OCD=ODC=45°,

∴∠ODE=90°,

四邊形ODEC是矩形,

EC=ED

∴四邊形ODEC是正方形.

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