Question

在東西方向的地面l有一長(zhǎng)為1km的飛機(jī)跑道MN（如圖），在跑道西端M的正西19.5km處有一觀察站A．某時(shí)刻測(cè)得一架勻速直線降落的飛機(jī)位于A的北偏西30°，且與A相距10km的B處；經(jīng)過1分鐘，又測(cè)得該飛機(jī)位于A的北偏東60°，且與A相距5

3

km的C處．
（1）求該飛機(jī)航行的速度（保留精確結(jié)果）；
（2）如果該飛機(jī)不改變航向繼續(xù)航行，那么飛機(jī)能否降落在跑道MN之間？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,勾股定理,解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：幾何圖形問題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）先求出∠BAC=90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；
（2）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，設(shè)直線BC交l于F，然后求出AD、BD、CE、AE，再求出DE，然后利用△BDF和△CEF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式取出EF的長(zhǎng)，再求出AF的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）由題意，得∠BAC=90°，
∴BC=

102+(5 3 )2

=5

7

，
∵BC的長(zhǎng)度是飛機(jī)1分鐘飛過的路程，
∴飛機(jī)航行的速度為5

7

×60=300

7

km/h；

（2）能．
作BD⊥l于D，CE⊥l于E，設(shè)直線BC交l于F，
則AD=AB•cos∠BAD=10×

1

2

=5，BD=AB•sin∠BAD=10×

3

2

=5

3

，
CE=AC•sin∠CAE=5

3

×

1

2

=

5

2

3

，AE=AC•cos∠CAE=5

3

×

3

2

=

15

2

，
∴DE=AD+AE=5+

15

2

=12.5，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
又∵∠BFD=∠CFE，
∴△BDF∽△CEF，
∴

DF

EF

=

BD

CE

，
∴

EF+12.5

EF

=

5 3

5 3 2

，
解得EF=12.5，
∴AF=AE+EF=7.5+12.5=20．
∵AM＜AF＜AN，
∴飛機(jī)不改變航向繼續(xù)航行，可以落在跑道MN之間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，方向角的定義，勾股定理，解直角三角形，讀懂題目信息并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．