Question

二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，與y軸負半軸交于點C，當a=時，△ABD是　等腰直角　三角形；要使△ACB為等腰三角形，則a值為　

Answer 1

或　．

     解：如圖1，∵二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，a=，

∴二次函數為y=（x+1）（x﹣3），

整理得y=x²﹣x﹣，

∴y=（x﹣1）²﹣2，

∴頂點D（1，﹣2），

作DE⊥AB于E，

∴DE=2，DE垂直平分AB，

∵AB=3+1=4，

∴AE=DE=BE，

∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，

∵AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，

∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，

∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當AB=BC=4時，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c²=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c²=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當AC=BC時

在△AOC中，AC²=1+c²，

在△BOC中BC²=c²+9，

∵AC=BC，

∴1+c²=c²+9，此方程無解．

綜上，要使△ACB為等腰三角形，則a值為或；

故答案為：等腰直角、或．