Question

如圖1，在平面直接坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標．（友情提示：?圖2、圖3備用，?不要漏解）

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：因為題中沒有指明△ODP的腰長與底分別是哪個邊，故應該分情況進行分析，從而求得點P的坐標．

解答：解：（1）OD是等腰三角形的底邊時，P就是OD的垂直平分線與CB的交點，此時OP=PD≠5；

（2）OD是等腰三角形的一條腰時：
①若點O是頂角頂點時，P點就是以點O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，
在直角△OPC中，CP=

OP2-OC2

=3，則P的坐標是（3，4）．
②若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，
過D作DM⊥BC于點M，
在直角△PDM中，PM=

PD2-DM2

=3，
當P在M的左邊時，CP=5-3=2，則P的坐標是（2，4）；
當P在M的右側(cè)時，CP=5+3=8，則P的坐標是（8，4）．
故P的坐標為：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的運用，注意正確地進行分類，考慮到所有的可能情況是解題的關(guān)鍵．