【題目】如圖1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠C=90°,將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α(0°<α<90°),使點A,D,E在同一直線上,連接AD,BE.
(1)①依題意補全圖2;
②求證:AD=BE,且AD⊥BE;
③作CM⊥DE,垂足為M,請用等式表示出線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關系;
(2)如圖3,正方形ABCD邊長為 ,若點P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.
【答案】
(1)
解:①依照題意補全圖2,如下圖(一)所示.
②證明:∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°,∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ADC和△BEC中,有 ,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC.
∵點A,D,E在同一直線上,△CDE是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,∠ADC=180°﹣∠CDE=135°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°,
∴AD⊥BE.
③依照題意畫出圖形,如圖(二)所示.
∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB,
即 ACBC+ BECM= AE(CM+BE),
∴AC2﹣AEBE=CM(AE﹣BE).
∵△CDE為等腰直角三角形,
∴DE=2CM,
∴AE﹣BE=2CM
(2)
解:依照題意畫出圖形(三).
其中AB= ,DP=1,BD= AB=
由勾股定理得:BP= =3.
結合(1)③的結論可知:
AM= = =1.
故點A到BP的距離為1
【解析】(1)①根據(jù)旋轉的特性畫出圖象;②由∠ACD、∠BCE均與∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE,由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC,結合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC,從而得出AD=BE,再由∠BCE=∠ADC=135°,∠CED=45°即可得出∠AEB=90°,即證出AD⊥BE;③依照題意畫出圖形,根據(jù)組合圖形的面積為兩個三角形的面積和可用AE,BE去表示CM;(2)根據(jù)題意畫出圖形,比照(1)③的結論,套入數(shù)據(jù)即可得出結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)y= x2+ 的圖象與性質.
小東根據(jù)學習函數(shù)的經驗,對函數(shù)y= x2+ 的圖象與性質進行了探究.
下面是小東的探究過程,請補充完整:
(1)函數(shù)y= x2+ 的自變量x的取值范圍是
(2)下表是y與x的幾組對應值.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | ﹣ | ﹣ | ﹣ | m | … |
求m的值;
(3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(4)進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第一象限內的最低點的坐標是(1, ),結合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的其它性質(一條即可) .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市教育局對某鎮(zhèn)實施“教育精準扶貧”,為某鎮(zhèn)建中、小型兩種圖書室共30個.計劃養(yǎng)殖類圖書不超過2000本,種植類圖書不超過1600本.已知組建一個中型圖書室需養(yǎng)殖類圖書80本,種植類圖書50本;組建一個小型圖書室需養(yǎng)殖類圖書30本,種植類圖書60本.
(1)符合題意的組建方案有幾種?請寫出具體的組建方案;
(2)若組建一個中型圖書室的費用是2000元,組建一個小型圖書室的費用是1500元,哪種方案費用最低,最低費用是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點,△ABC的頂點均在格點上.
(1)畫出將△ABC向右平移2個單位后得到的△A1B1C1 , 再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉90°后所得到的△A2B1C2;
(2)求線段B1C1旋轉到B1C2的過程中,點C1所經過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖(1)是某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線形狀.拋物線兩端點與水面的距離都是1m,拱橋的跨度為10cm.橋洞與水面的最大距離是5m.橋洞兩側壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈.現(xiàn)把拱橋的截面圖放在平面直角坐標系中,如圖(2).求:
(1)拋物線的解析式;
(2)兩盞景觀燈P1、P2之間的水平距離.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足為F.
(1)求證:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度數(shù);
(3)求證:CD=2BF+DE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的,連接BE、CF相交于點D.
(1)求證:BE=CF;
(2)當四邊形ABDF為菱形時,求CD的長.
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