Question

【題目】如圖，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將△ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，連接AM，BN．
（1）求證：AM=BN；
（2）當(dāng)MA∥CN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角α的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，

∴CE=CF，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，

在△AMC和△BNC中，

，

∴△AMC≌△BNC，

∴AM=BN

（2）解：∵M(jìn)A∥CN，

∴∠ACN=∠CAM，

∵∠ACN+∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠AMC=90°，

∴cosα= ．

【解析】（1）由CA=CB，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，得CE=CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，證明△AMC≌△BNC即可；（2）當(dāng)MA∥CN時(shí)，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα= = ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．