Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-

1

2

x+1分別與x軸，y軸交于過點A，B，點C是第一象限內(nèi)的一點，且AB=AC，AB⊥AC，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）判斷直線AB與CD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，B，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)直線方程求得A（2，0）、B（0，1）．如圖，過點C作CE⊥x軸，易證△AOB≌△ECA．由該全等三角形的對應(yīng)邊相等易求C（3，2）．把點A、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值；
（2）AB∥CD．根據(jù)（1）中拋物線的解析式可以求得D（7，0）．由兩點間的坐標(biāo)公式可以得到 AC=

5

，CD=2

5

，AD=5．根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ACD為直角三角形，則∠ACD=∠BAC=90°．故AB∥CD；
（3）如圖，由題意可知，要使得以A，B，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．則點N到x軸的距離等于1．可得-

1

2

x2+

9

2

x-7=1和-

1

2

x2+

9

2

x-7=-1．通過解這兩個方程得x1=

9- 17

2

，x2=

9+ 17

2

，x3=

9+ 33

2

，x4=

9- 33

2

．

解答：解：（1）由題意可求點A（2，0），點B（0，1）．
過點C作CE⊥x軸，易證△AOB≌△ECA．
∴OA=CE=2，OB=AE=1．
∴點C的坐標(biāo)為（3，2）．
將點A（2，0），點C（3，2）
代入y=-

1

2

x2+bx+c，得

-2+2b+c=0 - 9 2 +3b+c=2.

解得

b= 9 2 c=-7.

∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x2+

9

2

x-7；

（2）AB∥CD．理由如下：
令-

1

2

x2+

9

2

x-7=0，解得x_D=7．
∴D點坐標(biāo)為（7，0）．
可求 AC=

5

，CD=2

5

，AD=5．
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴AB∥CD；

（3）如圖，由題意可知，要使得以A，B，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．
∵B點坐標(biāo)為（0，1），
∴點N到x軸的距離等于1．
可得-

1

2

x2+

9

2

x-7=1和-

1

2

x2+

9

2

x-7=-1．
解這兩個方程得x1=

9- 17

2

，x2=

9+ 17

2

，x3=

9+ 33

2

，x4=

9- 33

2

．
∴點N的坐標(biāo)分別為（

9- 17

2

，1），（

9+ 17

2

，1），（

9+ 33

2

，-1），（

9- 33

2

，-1）．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)．解答（3）題的關(guān)鍵是推知“點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等”．