Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點(diǎn)，且MC=MD，分別過點(diǎn)C、D作邊BC、AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，求證：∠PQC=∠PQD．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：連接AP、BP，取AP的中點(diǎn)E，取BP的中點(diǎn)F，連接DE、ME、QE、CF、QF、MF，根據(jù)“三角形中位線定理”及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可證得四邊形PEMF是平行四邊形、△DEM≌△MFC，即可得到∠PEM=∠PFM，∠DEM=∠MFC，則有∠DEP=∠CFP，由此可得到∠DAP=∠PBC．易證D、A、Q、P四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠PQD=∠DAP．同理可得∠PQC=∠PBC，即可得到∠PQC=∠PQD．

解答：證明：連接AP、BP，取AP的中點(diǎn)E，取BP的中點(diǎn)F，連接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如圖．
∵E為AP的中點(diǎn)，F(xiàn)為BP的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，
∴EM∥BP，EM=

1

2

BP，MF∥AP，MF=

1

2

AP．
∵E為AP的中點(diǎn)，F(xiàn)為BP的中點(diǎn)，∠ADP=∠BCP=90°，
∴DE=AE=EP=

1

2

AP，F(xiàn)C=PF=BF=

1

2

BP，
∴DE=MF，EM=FC．
在△DEM和△MFC中，

DE=MF EM=FC DM=MC

，
∴△DEM≌△MFC（SSS），
∴∠DEM=∠MFC．
∵EM∥BP，MF∥AP，
∴四邊形PEMF是平行四邊形，
∴∠PEM=∠PFM．
又∵∠DEM=∠MFC，
∴∠DEP=∠CFP．
∵DE=AE，F(xiàn)C=BF，
∴∠DAE=∠ADE=

1

2

∠DEP，∠FBC=∠FCB=

1

2

∠CFP，
∴∠DAE=∠FBC，即∠DAP=∠PBC．
∵∠ADP=∠AQP=90°，E為AP中點(diǎn)，
∴ED=EA=EQ=EP=

1

2

AP，
∴D、A、Q、P四點(diǎn)共圓，
∴∠PQD=∠DAP．
同理可得：∠PQC=∠PBC，
∴∠PQD=∠PQC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度比較大，由線段的中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．